В 1976 году окончил Второй Московский медицинский институт имени Н. И. Пирогова, после чего до 1981 года проходил ординатуру и аспирантуру в Институте клинической кардиологии имени А. Л. Мясникова
В 1981 году защитил кандидатскую диссертацию.
Работал врачом группы геологов в Африке, в Народной Республике Мозамбик. В 1983 году трудился в провинции Замбези врачом общей практики.
С 1984 по 1989 год служил старшим группы советских врачей-консультантов правительственного госпиталя «Пренда» в Анголе.
Вернувшись в Москву совмещал работу врача-кардиолога во Всесоюзном кардиологическом научном центре и сотрудника медицинского отдела Международной организации по миграции.
В 1993—1996 годах работал врачом Посольства Российской Федерации во Франции, сотрудничал с ведущими медицинскими центрами Парижа.
С 1996 года трудился в США, где окончил ординатуру при Медицинском центре Нью-Йоркского государственного университета по специальности «врач общей практики». В 2000 году Американским комитетом по медицине ему было присвоено звание врача высшей категории. Член Американской медицинской ассоциации и Американской коллегии врачей. В 2000 году вернулся в Россию.
С 2000 года Мясников стал работать в Москве сначала главным врачом Американского медицинского центра, затем главным врачом организованной им Американской клиники.
В 2009—2010 годах — главный врач Кремлёвской больницы Управления делами президента РФ. В это же время пробует себя в качестве телеведущего, в программе «Врача вызывали?», выходившей на «Третьем канале» (затем — на телеканале «ТВЦ»). Начинает вести медицинскую рубрику в программе Владимира Соловьёва и Анны Шафран «Полный контакт» на радио «Вести FM» (ведёт эту рубрику по настоящее время).
С 2010 года по настоящее время является главным врачом Государственного бюджетного учреждения здравоохранения города Москвы «Городская клиническая больница имени М. Е. Жадкевича Департамента здравоохранения города Москвы».
С 2012 по 2013 год был ведущим телевизионной программы о здоровье «Скажите, доктор!» на канале «Раз ТВ».
С 1 марта 2013 года — ведущий пятничных выпусков программы «О самом главном» на телеканале «Россия-1», имеющих условное название «Спросите доктора».
С 6 июня 2020 года — ведущий еженедельной программы «Доктор Мясников» на телеканале «Россия-1».